設函數f(x)在區間I上定義，若對I中的任意兩點x1和x2，和任意λ∈(0，1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f爲I上的凸函數。若不等號嚴格成立，即“>”號成立，則稱f(x)在I上是嚴格凸函數。如果>=換成<=就是凹函數。
函數的凹凸性是描述函數圖像彎曲方向的一個重要性質，其應用也是多方面的。如果函數f(x)在區間I上二階可導，則f(x)在區間I上是凸函數的充要條件是f''(x)≤0；f(x)在區間I上是凹函數的充要條件是f''(x)≥0。中國數學界關於函數凹凸性定義和國外很多定義是反的。國內教材中的凹凸，是指的函數圖像形狀，而不是指函數的性質。在國外，圖像的凹凸與直觀感受一致，卻與函數的凹凸性相反。
