有界函數不一定可積。設f（x）在區間（a，b）上有界，且只有有限個間斷點，則f（x）在（a，b）上可積。所以有界不一定可積。例如狄利克雷函數f（x）=1（x是有理數的時候），而f（x）=0（x是無理數的時候），所以f（x）是有界的。但f（x）在任意區間內有無數個間斷點，所以這個函數在任意區間內不可積。
如果一個函數的積分存在，並且有限，就說這個函數是可積的。一般來說，被積函數不一定只有一個變量，積分域也可以是不同維度的空間，甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。對於只有一個變量x的實值函數f，f在閉區間[a，b]上的積分記作。
