按規定，法院提請死刑複覈的程序應該如下進行：
1、中院判處死刑的第一審案件，被告人沒上訴、檢察院沒抗訴的，在上訴、抗訴期滿後會在十日內報請高院複覈。高院同意判處死刑的，就會在作出裁定後十日內報請最高人民法院覈准。要不同意的，會依照第二審程序提審或者發回重新審判。
2、中院判處死刑的第一審案件，被告人上訴或者檢察院抗訴，高院裁定維持的，會在作出裁定後十日內報請最高人民法院覈准;
3、高院判處死刑的第一審案件，被告人沒去上訴、檢察院也沒抗訴的，需要在上訴、抗訴期滿後十日內報請最高人民法院覈准。
【法律依據】
《刑事訴訟法》第二百五十條最高人民法院複覈死刑案件，應當作出覈准或者不覈准死刑的裁定。對於不覈准死刑的，最高人民法院可以發回重新審判或者予以改判。
